Q) Solve  d^2 y/dx^2-7dy /dx+12y=0   

Ans: Given:- d^2 y over dx^2-7dy over dx+12y=0   
or, in symbolic form, (D²-7D+12)Y=0
The A.E is D²-7D+12=0
or   D²-4D-3D+12=0
⇒   D(D-4)-3(D-4)=0
⇒   (D-3)(D-4)=0
∴    D=3,4
∴    C.S is y=c₁e3x+c₂e4x
Q) Solve  d³y/dx³-d²y/dx²-12 dy/dx=0
 In symbolic form, (D³-D²-12D)y=0
 The A.E is   D³-D²-12D=0
or      D(D²-D-12)=0
or      D=0, D²-D-12=0
⇒      D²-4D+3D-12=0
⇒      D(D-4)+3(D-4)=0
⇒      (D+3)(D-4)=0   
∴     D=0,-3,4
∴    C.S is y=C₁+C₂e-3x+C₃e4x